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假定群G的正规子群N的阶为2,证明G的中心包含N
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假定群G的正规子群N的阶为2,证明G的中心包含N
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答案和解析
N中必有G的单位元1,所以由N的阶为2,N中只有一个非单位元,记为a.为证G的中心包含N,只需证明a属于G的中心.
任取g∈G,考虑元素b=g^(-1)*a*g,则b与a共轭,故由N是正规子群可知b∈N.但b≠1（否则g^(-1)*a*g=1,得a=g*g^(-1)=1,矛盾）,只可能有b=a.这说明g^(-1)*a*g=a,所以a*g=g*a,即a与g交换.g是G中任意元素,所以必有a属于G的中心.证毕
任取g∈G,考虑元素b=g^(-1)*a*g,则b与a共轭,故由N是正规子群可知b∈N.但b≠1（否则g^(-1)*a*g=1,得a=g*g^(-1)=1,矛盾）,只可能有b=a.这说明g^(-1)*a*g=a,所以a*g=g*a,即a与g交换.g是G中任意元素,所以必有a属于G的中心.证毕
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