已知直线L1：mx-y=0,L2：x+my-m-2=0.（1）求证：对m属于R,L1与L2的交点P在一个定圆上.（2）若L1与定圆的另一个交点为P1,L2与定圆的另一个交点为P2,求当m在实数范围内取值时.三角形PP1P2面积的最大

Question

已知直线L1：mx-y=0,L2：x+my-m-2=0.（1）求证：对m属于R,L1与L2的交点P在一个定圆上.
（2）若L1与定圆的另一个交点为P1,L2与定圆的另一个交点为P2,求当m在实数范围内取值时.三角形PP1P2面积的最大值及对应的m.

Answer 1

(1)

如图所示：

l1：mx－y＝0,过定点(0,0),斜率kl1＝m

l2：x＋my－m－2＝0,斜率kl2＝－1/m

=>m(y－1)＋x－2＝0

令y－1＝0,x－2＝0

得y＝1,x＝2

∴l2过定点(2,1)

∵kl1•kl2＝－1

∴直线l1与直线l2互相垂直

∴直线l1与直线l2的交点必在以(0,0),(2,1)为一条直径端点的圆上

且圆心(1,1/2),半径r＝1/2√(2²＋1²)＝√5/2

∴圆的方程为(x－1)²＋(y－1/2)²＝5/4

即x²＋y²－2x－y＝0

(2)

由(1)得：

P1(0,0),P2(2,1)

当P点在定圆上移动时,△PP1P2的底边P1P2为定值2r

当三角形的高最大时,△PP1P2的面积最大

故S△PP1P2max＝1/2•2r•r＝5/4

又l1与l2的交点为P(  (m＋2)/(m²＋1),[m(m＋2)]/(m²＋1)  )

且OP与P1P2的夹角是45°

∴|OP|＝√2 r＝√10/2

即[(m＋2)/(m²＋1)]²＋[ [m(m＋2)]/(m²＋1) ]²＝5/2

解得：m＝3或m＝－1/3

故当m＝3或m＝－1/3时,△PP1P2的面积取得最大值5/4