观察以下各等式：sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

Question

观察以下各等式：
sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=(3)/(4)
sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=(3)/(4)
sin²15°+cos²45°+sin15°cos45°=(3)/(4)
分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

Answer 1

观察以下各式：
∵sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=(3)/(4)，sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°=(3)/(4)，
∴sin²30°+cos²（30°+30°）+sin30°cos（30°+30°）=(3)/(4)，sin²20°+cos²（20°+30°）+sin20°cos（20°+30°）=(3)/(4)，
 于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=(3)/(4)．
证明：左边=sin2α+cos2(α+300)+sinαcos(α+300)=(1-cos2α)/(2)+(1+cos(600+2α))/(2)+(sin(300+2α)-sin300)/(2)
=1+(cos(600+2α)-cos2α)/(2)+(1)/(2)[sin(300+2α)-(1)/(2)]
=1+(-2sin(300+2α)sin300)/(2)+(1)/(2)[sin(300+2α)-(1)/(2)]
=(3)/(4)-(1)/(2)sin(300+2α)+(1)/(2)sin(300+2α)=(3)/(4)=右边．