（2014•南通三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足PM•PF=0，PM+PN=0．（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）设点Q是直线l：

Question

（2014•南通三模）在平面直角坐标系xOy中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足

PM

•

PF

=0，

PM

+

PN

=0．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k₁，k₂，直线QF的斜率为k₀，求证：k₁+k₂=2k₀．

Answer 1

（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．
∵

PM

+

PN

＝0可知，∴点P是MN的中点，
∴

(a+x)/(2)＝0

(0+y)/(2)＝b

，即

a＝−x

b＝(y)/(2)

，
∴点M（-x，0），P(0，(y)/(2))．
∴

PM

＝(−x，−(y)/(2))，

作业帮用户 2017-10-18

问题解析

（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），P(0，(y)/(2))，由此能求出动点N的轨迹C的方程．
（2）设点Q（-1，t），联立方程

y2＝4x

y−t＝k(x+1)

，得k²x²+2（k²+kt-2）x+（k+t）²=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明k₁+k₂=2k₀．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率和相等的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．

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