抛物线的顶点在坐标原点,且开口向右,点ABCD在抛物线上,△ABC的重心F为抛物线的焦点直线AB的方程为：4x+y-20=0⑴求抛物线的方程⑵设点M为一定点,过点M的动直线L与抛物线交于点P,Q两点,试推是

Question

抛物线的顶点在坐标原点,且开口向右,点ABCD在抛物线上,△ABC的重心F为抛物线的焦点
直线AB的方程为：4x+y-20=0⑴求抛物线的方程
⑵设点M为一定点,过点M的动直线L与抛物线交于点P,Q两点,试推是否存在定点M,使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由

Answer 1

(1)设点A（x1,y1） B（x2,y2） C（x3,y3）
又设抛物线的方程：y^2=2px (p＞0） ∴F（p/2,0）
联立方程：｛y^2=2px ,4x+y-20=0 ｝ 消去x得：
2y^2+py-20p=0
∴y1+y2=-p/2 x1+x2=5-y1/4+5-y2/4=10+p/8
∵△ABC的重心为F 且C在抛物线上 ∴x3＝y3^2/2p
∴由三角形的重心坐标公式得 ：
｛(y1+y2+y3)/3=(-p/2+y3)/3=0 ,(x1+x2+x3)=(10+p/8+y3^2/2p)/3=p/2}
解得：p＝8 ,y3＝4
∴抛物线的方程为：y^2=16x
(2)设点M（a,b） P（x4,y4） Q(x5,y5)
①当直线L的斜率不存在时 即 x4＝x5＝a 且 a＞0
则：令 y4＝4√a ,y5＝-4√a
以线段PQ为直径的圆经过坐标原点O（0,0）
∴OQ⊥OP ∵向量OQ＝（a,-4√a） 向量OP＝（a,4√a）
∴ 向量OQ*向量OP＝a^2-16a=0
解得：a=16 或 a=0(舍去)
② 当直线L的斜率存在时 设斜率为k 则 直线L的方程为：
y-b=k(x-a) (k≠0)
∴联立方程：｛ y-b=k(x-a) ,y^2=16x ｝
消去x 得：ky^2-16y+16b-16ka=0
∴y4+y5=16/k y4*y5=(16b-16ka)/k
∴x4*x5=(ka-b)^2/k^2
∵OQ⊥OP
∴向量OQ*向量OP＝x4*x5+y4*y5=(16b-16ka)/k+(ka-b)^2/k^2=0
即：k^2(a^2-16a)+k(16b-2ab)+b^2=0对任意的k≠0都恒成立
∴有方程组：｛a^2-16a＝0 ,16b-2ab＝0 ,b^2＝0 ｝
且a≠0 ∴解得：a＝16 ,b＝0
∴点M（16,0）
综上所述：存在定点M,使得以线段PQ为直径的圆经过坐标原点,
点M的坐标为：（16,0）