圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（）A.73B.72C.257D.7

Question

圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（　　）

A.

(√(7))/(3)

B.

(√(7))/(2)

C.

(2)/(5)√(7)

D.

√(7)

Answer 1

过M作MP₃⊥AM交AB于P₃，过P₃作P₁P₂⊥AB交圆锥底面圆周为P₁，P₂，
则P₁P₂⊥平面AMP₃，∴AM⊥P₂P₁，即P点轨迹为线段P₁P₂．
∵△SAB是边长为4的等边三角形，∴AO=2，SO=2√(3)，∴OM=(1)/(2)SO=√(3)．
∵∠AMP₃=90°，∴OM²=AO•OP₃，解得OP₃=(3)/(2)．
∴P₁P₂=2√(OP12-OP32)=√(7)．
故选：D．