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在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点,设向量AC=λDE+μAP.(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹方程(不需限制变量取值范围);(Ⅱ
题目详情
在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点,设向量
=λ
+μ
.
(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹方程(不需限制变量取值范围);
(Ⅱ)求λ+μ的最小值.
AC |
DE |
AP |
(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹方程(不需限制变量取值范围);
(Ⅱ)求λ+μ的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)如图,
以A为原点,以AB所在的为x轴,建立坐标系,设正方形ABCD的边长为1,
设E(
,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0).
设P(cosθ,sinθ),∴
=(1,1).
由向量
=λ
+μ
=λ(
,-1)+μ(cosθ,sinθ)
=(
+μcosθ,-λ+μsinθ)=(1,1),
∴
+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,
即μcosθ=1−
①,
μsinθ=1+λ ②.
①2+②2得:5λ2+4λ-4μ2+8=0;
(Ⅱ)由
+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,
∴
,
∴λ+μ=
,
由题意可知:0≤θ≤

以A为原点,以AB所在的为x轴,建立坐标系,设正方形ABCD的边长为1,
设E(
1 |
2 |
设P(cosθ,sinθ),∴
AC |
由向量
AC |
DE |
AP |
=λ(
1 |
2 |
=(
λ |
2 |
∴
λ |
2 |
即μcosθ=1−
λ |
2 |
μsinθ=1+λ ②.
①2+②2得:5λ2+4λ-4μ2+8=0;
(Ⅱ)由
λ |
2 |
∴
|
∴λ+μ=
2sinθ−2cosθ+3 |
sinθ+2cosθ |
由题意可知:0≤θ≤
作业帮用户
2017-10-21
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