在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量AC＝λDE+μAP．（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）；（Ⅱ

Question

在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量

AC

＝λ

DE

+μ

AP

．
（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）；
（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）如图，
以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
设E（(1)/(2)，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．
设P（cosθ，sinθ），∴

AC

=（1，1）．
由向量

AC

＝λ

DE

+μ

AP

=λ（(1)/(2)，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（(λ)/(2)+μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），
∴(λ)/(2)+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
即μcosθ＝1−(λ)/(2)  ①，
μsinθ=1+λ  ②．
①²+②²得：5λ²+4λ-4μ²+8=0；
（Ⅱ）由(λ)/(2)+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
∴

λ＝(2sinθ−2cosθ)/(sinθ+2cosθ)

μ＝(3)/(sinθ+2cosθ)

，
∴λ+μ=(2sinθ−2cosθ+3)/(sinθ+2cosθ)，
由题意可知：0≤θ≤

作业帮用户 2017-10-21