已知P是椭圆x2100+y264=1上一点，左、右焦点分别是F1，F2，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为．

Question

已知P是椭圆 (x2)/(100)+ (y2)/(64)=1上一点，左、右焦点分别是F₁，F₂，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为___．

Answer 1

∵椭圆的方程为(x2)/(100)+(y2)/(64)=1，
∴a=10，b=8，c=6．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=400-3|F₁P|•|PF₂|
=144，
∴|F₁P|•|PF₂|=(256)/(3)．
∴△PF₁F₂的面积S=(1)/(2)|F₁P|•|PF₂|sin60°
=(1)/(2)×(256)/(3)×(√(3))/(2)=(64√(3))/(3)．
故答案为：(64√(3))/(3)．