已知函数g（x）=lnx+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴（Ⅰ）确定a与b的关系（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性（Ⅲ）证明：对任意n∈N*，都有ln（1+n）＞122+232+342…+

Question

已知函数g（x）=lnx+ax²+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴
（Ⅰ）确定a与b的关系
（Ⅱ）试讨论函数g（x）的单调性
（Ⅲ）证明：对任意n∈N^*，都有ln（1+n）＞(1)/(22)+(2)/(32)+(3)/(42)…+(n−1)/(n2)成立．

Answer 1

（Ⅰ）g（x）=lnx+ax²+bx，
则g′（x）=(1)/(x)+2ax+b，
由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴，得
g′（1）=1+2a+b=0，则b=-2a-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g′（x）=((2ax−1)(x−1))/(x)，
∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），
∴①当a≤0时，2ax-1＜0在（0，+∞）上恒成立，
由g′（x）＞0得0＜x＜1，由g′（x）＜0得x＞1，
即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
②当a＞0时，令g′（x）=0得x=1或x=(1)/(2a)，
若(1)/(2a)＜1，即a＞(1)/(2)时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜(1)/(2a)，由g′（x）＜0得(1)/(2a)＜x＜1，
即函数g（x）在（0，(1)/(2a)），（1，+∞）上单调递增，在（(1)/(2a)，1）单调递减；
若(1)/(2a)＞1，即0＜a＜(1)/(2)时，由g′（x）＞0得x＞(1)/(2a)或0＜x＜1，由g′（x）＜0得1＜x＜(1)/(2a)，
即函数g（x）在（0，1），（(1)/(2a)，+∞）上单调递增，在（1，(1)/(2a)）单调递减；
若(1)/(2a)=1，即a=(1)/(2)时，在（0，+∞）上恒有g′（x）≥0，
即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
综上得：当a≤0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当0＜a＜(1)/(2)时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在（1，(1)/(2a)）单调递减；在（(1)/(2a)，+∞）上单调递增；
当a=(1)/(2)时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞(1)/(2)时，函数g（x）在（0，(1)/(2a)）上单调递增，在（(1)/(2a)，1）单调递减；在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当a=1时，函数g（x）=lnx+x²-3x在（1，+∞）单调递增，
∴lnx+x²-3x≥g（1）=-2，即lnx≥-x²+3x-2=-（x-1）（x-2），
令x=1+(1)/(n)，则ln（1+(1)/(n)）＞(1)/(n)-(1)/(n2)，
∴ln（1+1）+ln（1+(1)/(2)）+…+ln（1+(1)/(n)）＞1-(1)/(12)+(1)/(2)-(1)/(22)+…+(1)/(n)-(1)/(n2)，
∴ln（1+n）＞(1)/(22)+(2)/(32)+(3)/(42)+…+(n−1)/(n2)．