已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜x−m+3x成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时

Question

已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若∃x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜(x−m+3)/(√(x))成立，试求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，对于∀x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+(1)/(x)（x＞0）．
①当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
②当a＜0时，若x∈(0，−(1)/(a))，f'（x）＞0，∴f（x）在x∈(0，−(1)/(a))上为增函数；
若x∈(−(1)/(a)，+∞)，f'（x）＜0，∴f（x）在x∈(−(1)/(a)，+∞)上为减函数．
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a＜0时，f（x）在(0，−(1)/(a))上为增函数，在(−(1)/(a)，+∞)上为减函数．
（Ⅱ）∵∃x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜(x−m+3)/(√(x))成立，∴∃x∈（0，+∞），使得m＜x−ex√(x)+3成立，
令h(x)＝x−ex√(x)+3，则h′(x)＝1−ex(√(x)+(1)/(2√(x)))，
当x∈（0，+∞）时，∵e^x＞1，√(x)+(1)/(2√(x))≥2√(√(x)•(1)/(2√(x)))＝√(2)，
∴ex(√(x)+(1)/(2√(x)))＞1，∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3∴m＜3．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)＝ex−(1)/(x)，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数．
设φ'（x）=0的根为x=t，则et＝(1)/(t)，即t=e^-t．
∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，
∴φ(x)min＝φ(t)＝et−lnt−2＝et−lne−t−2＝et+t−2∵φ'（1）=e-1＞0，φ′((1)/(2))＝√(e)−2＜0，∴t∈((1)/(2)，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈((1)/(2)，1)上为增函数，∴φ(x)min＝φ(t)＝et+t−2＞e(1)/(2)+(1)/(2)−2＞√(2.25)+(1)/(2)−2＝0，
∴f（x）＜g（x）-2．