已知抛物线y=x2+h与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OC=AB．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线y=2x+b被抛物线截得线段长为230，求b．

Question

已知抛物线y=x²+h与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OC=AB．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线y=2x+b被抛物线截得线段长为2√(30)，求b．

Answer 1

（1）如图由题意，OA=OB，

∵OC=AB，
∴OA=OB=-(1)/(2)h，
∴点B坐标（-(1)/(2)h，0），
把点B坐标代入y=x²+h得到，0=(1)/(4)h²+h，解得h=-4或0（舍弃），
∴抛物线的解析式为y=x²-4．

（2）设直线y=2x+b与抛物线y=x²-4的交点为E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
由

y=x2-4

y=2x+b

消去y得到x²-2x-4-b=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-4-b，由此可得y₁+y₂=4+2b，y₁y₂=b²-16，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4b+20，同理可得（y₁-y₂）²=16b+80，
∵EF=2√(30)，
∴4b+20+16b+80=120，
∴b=1．