已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为223．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长．

Question

已知椭圆C短轴的一个端点为（0，1），离心率为(2√(2))/(3)．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

（本小题满分10分）
（1）∵椭圆C短轴的一个端点为（0，1），
∴椭圆的焦点在x轴上，b=1，…（2分）
∵e＝(c)/(a)＝(2√(2))/(3)，(c2)/(a2)＝(8)/(9)，∴得a=3，…（3分）
所以其标准方程是：(x2)/(9)+y2＝1．…（4分）
（2）联立方程组

(x2)/(9)+y2＝1

y＝x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．…（5分）
△=36²-4×10×27＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2＝−(18)/(5)，x1x2＝(27)/(10)，…（7分）
所以|AB|=√(1+1)•√((x1+x2)2−4x1y1)=(6)/(5)√(3)．…（10分）