（2014•淮北模拟）如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，BD和PC相交于点E．给出下列结论：①∠PBD=15°；②△PDE为等腰三角形；③△PDE∽△PCD；④△PBD、正方形ABCD的面积分别为S1，S，

Question

（2014•淮北模拟）如图，点P在正方形ABCD内，△PBC是正三角形，BD和PC相交于点E．给出下列结论：
①∠PBD=15°；
②△PDE为等腰三角形；
③△PDE∽△PCD；
④△PBD、正方形ABCD的面积分别为S₁，S，若S=4，则S₁=1．
其中正确的是______．

Answer 1

∵△PBC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，PC=BC，∠PBC=60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCB=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠PBD=60°-45°=15°，∴①正确；
∵∠DCB=90°，∠PCB=60°，
∴∠DCP=90°-60°=30°，
∵BC=PC，BC=CD，
∴PC=DC，
∴∠CPD=∠PDC=(1)/(2)（180°-30°）=75°，
∵∠DCP=30°，∠BDC=45°，
∴∠DEP=45°+30°=75°=∠DPC，
∴DP=DE，
∴△PDE为等腰三角形，∴②正确；
∵∠DPC=∠DPC，∠DEP=∠PDC=75°，
∴△PDE∽△DCP，∴③正确；
过P作PN⊥CD，PM⊥BC，
则∠PNC=∠PMC=90°，
∵正方形ABCD的面积是4，
∴BC=DC=2，
∵PC=BC，
∴PC=2，
∵∠DCP=30°，∠PNC=90°，
∴PN=(1)/(2)PC=1，PM=PC×sin60°=2×(√(3))/(2)=√(3)，
∴S₁=S_△PBD
=S_△PBC+S_△PDC-S_△DBC
=(1)/(2)×2×√(3)+(1)/(2)×2×1-(1)/(2)×2×2=√(3)-1，∴④错误；
故答案为：①②③．