ab+ac+bc=108,求ab/c+ac/b+bc/a最小值

Question

ab+ac+bc=108,求ab/c+ac/b+bc/a最小值

Answer 1

证：引理1：ab/c+ac/b+bc/a≥a+b+c
证明：ab/c+ca/b≥2a;（基本不等式）
同理ca/b+cb/a>2c;bc/a+ba/c>2b.
将以上三式相加,不等式两边同时除以2即：
ab/c+bc/a+ca/b≥a+b+c
引理2：a2+b2+c2≥ab+2bc+2ca
证明1：2左-2右得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
证明2：由排序的不等式得顺序和≥乱序和
所以（ab/c+ac/b+bc/a）的平方≥（a+b+c）的平方=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca=3（ab+bc+ca）=3*108=324
故（ab/c+ac/b+bc/a）的平方≥324
ab/c+ac/b+bc/a≥18
等号当且仅当a=b=c=6 时取到