设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x为（）A.172B.415C.557D.89

Question

设f（x）是定义在[1，+∞）的函数，对任意正实数x，f（3x）=3f（x），且f（x）=1-|x-2|，1≤x≤3，则使得f（x）=f（2015）的最小实数x为（　　）

A. 172

B. 415

C. 557

D. 89

Answer 1

因为f（x）对于所有的正实数x均有f（3x）=3f（x），
所以f（x）=3f（(x)/(3)），
所以f（2015）=3f（(2015)/(3)）=3²f（(2015)/(32)）=…=3ⁿf（(2015)/(3n)），
当n=6时，(2015)/(36)∈（1，3），
所以f（2015）=3⁶[1-(2015)/(36)+2]=3⁷-2015=172，
同理f（x）=3ⁿf（(x)/(3n)）=

3n[1-((x)/(3n)-2)]，2≤(x)/(3n)≤3

3n[1+((x)/(3n)-2)]，1≤(x)/(3n)<2

=

3n+1-x，2≤(x)/(3n)≤3

x-3n，1≤(x)/(3n)<2

，（n∈N^*）
∵f（2）=1，∴f（6）=3f（2）=3，f（18）=3f（6）=3²=9，
f（54）=3f（18）=3³=27，f（162）=3f（54）=3⁴=81，
f（486）=3f（162）=3⁵=243，
即此时由f（x）=3⁵f（(x)/(35)）=3⁵（(x)/(35)-1）=x-3⁵=172
得x=3⁵+172=243+172=415，

作业帮用户 2017-04-19