已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的标准方程．

Question

已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的标准方程．

Answer 1

设圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
∵圆经过点（4，2）和（-2，-6），
∴

4D+2E+F+20=0①

2D+6E-F-40=0②

设圆在x轴上的截距为x₁、x₂，它们是方程x²+Dx+F=0的两个根，得x₁+x₂=-D．
设圆在y轴上的截距为y₁、y₂，它们是方程y²+Ey+F=0的两个根，得y₁+y₂=-E．
由已知，得-D+（-E）=-2，即D+E-2=0．③．
由①②③联立解得D=-2，E=4，F=-20．
∴所求圆的一般方程为x²+y²-2x+4y-20=0，化为标准方程为（x-1）²+（y+2）²=25．