两圆方程做差出来的一次方程是什么?在那里?如果两圆相交,则该方程与两圆公共弦的方程有什么关系?该方程,如果两圆相交应该为公共弦方程,希望高手们能给出证明.如果两圆相离,那该方程

Question

两圆方程做差出来的一次方程是什么?在那里?如果两圆相交,则该方程与两圆公共弦的方程有什么关系?
该方程,如果两圆相交应该为公共弦方程,希望高手们能给出证明.
如果两圆相离,那该方程是什么?在那?

Answer 1

这个一次方程表示的是一条直线,这条直线是两圆的根轴.解释根轴这个概念,我们需要引入一个名词,圆的幂.
我们知道圆幂定理,就是过一个点任意引圆的割线,这个点到割线两端点的有向距离之积是一个定植,我们把这个定值就交做圆的幂.圆周上的点的幂都等于0,圆外的点的幂大于0,圆内点的幂小于0
根轴就是到两圆幂相等的点的集合.它是一条垂直于两圆连心线的直线,且它过两圆所有共切线的中点.特殊的,当两圆相交时,那么根轴就是两圆公共弦所在的直线,当两圆相切时,根轴就是两圆过切点的共切线.当两圆相离或内含时,根轴是一条与两圆都不相交的直线.
所以：
当两圆相交时候,你就可以认为这个直线的方程表示的是两圆的公共弦所在的直线.
当两圆相切（包括内切和外切）时,这个直线方程表示的就是过两圆切点的共切线.
当两圆相离时,这个直线方程表示的是过四条共切线中点的直线.
当两圆内含时,这个直线方程表示的直线有这样的性质：这条直线上的点向两圆引切线,切线长相同.
它们本质上都是圆的根轴.