求函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+……+|119x-1|的最小值

Question

求函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+……+|119x-1|的最小值

Answer 1

这个题目要用到含绝对值不等式|a|+|b|≥|a-b|（其中等号成立条件是ab≤0）
对于|nx-1|要分成n个|x-1/n|相加
于是f(x)中可以写成1+2+3+……+119=7140个绝对值之和,将这些绝对值分成3570对,首尾等距为一对.1+2+3+……+84=3570
|x-1|+|x-1/119|≥118/119(当且仅当1/119≤x≤1时取等号)
|x-1/2|+|x-1/119|≥117/238(当且仅当1/119≤x≤1/2时取等号)
|x-1/2|+|x-1/119|≥117/238(当且仅当1/119≤x≤1/2时取等号)
|x-1/3|+|x-1/119|≥116/357(当且仅当1/119≤x≤1/3时取等号)
……
|x-1/84|+|x-1/85|≥1/7140(当且仅当1/85≤x≤84时取等号)
上面3570个不等式在1/85≤x≤1/84时同时取等号.
于是当1/85≤x≤1/84时函数f(x)取得最小值f(1/84)=84-1/84(1+2+3+……+84)+1/84(85+86+……+119)-35=49.