在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-8mx+16m-1（m>0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）．（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．（3）已知x

Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m>0）与x轴的交点分别为A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若AB=2，求此抛物线的解析式．
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y=mx²-8mx+16m-1（m>0）与线段CD有交点，请写出m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：△=64m²-4m•（16m-1）
=4m，
∵m>0，
∴△>0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x₁、x₂为方程mx²-8mx+16m-1=0的两根，
∴x₁+x₂=-(-8m)/(m)=8，x₁•x₂=(16m-1)/(m)，
∵|x₁-x₂|=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=4，
∴8²-4•(16m-1)/(m)=4，
∴m=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-8x+15；
（3）抛物线的对称轴为直线x=-(-8m)/(2m)=4，
∵抛物线开口向上，
∴当x=2，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，
∴4m-16m+16m-1≥0，
∴m≥(1)/(4)．