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(2004•龙岩)如图,已知抛物线C:y=-12x2+12x+3与x轴交于点A、B两点,过定点的直线l:y=1ax-2(a≠0)交x轴于点Q.(1)求证:不论a取何实数(a≠0)抛物线C与直线l总有两个交点;(2)写出点
题目详情
(2004•龙岩)如图,已知抛物线C:y=-
x2+
x+3与x轴交于点A、B两点,过定点的直线l:y=
x-2(a≠0)交x轴于点Q.
(1)求证:不论a取何实数(a≠0)抛物线C与直线l总有两个交点;
(2)写出点A、B的坐标:A(______)、B(______)及点Q的坐标:Q(______)(用含a的代数式表示);并依点Q坐标的变化确定:当
(3)设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P,是否存在这样的点P,使得∠APB=90°?若存在,求出此时a的值;不存在,请说明理由.
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
a |
(1)求证:不论a取何实数(a≠0)抛物线C与直线l总有两个交点;
(2)写出点A、B的坐标:A(______)、B(______)及点Q的坐标:Q(______)(用含a的代数式表示);并依点Q坐标的变化确定:当
0<a<
3 |
2 |
0<a<
时(填上a的取值范围),直线l与抛物线C在第一象限内有交点;3 |
2 |
(3)设直线l与抛物线C在第一象限内的交点为P,是否存在这样的点P,使得∠APB=90°?若存在,求出此时a的值;不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:由
消去y,得x2-(
-1)x-10=0
∵△=(
-1)2+40>0(2分)
∴不论a(a≠0)取何实数,方程组有两组不同的实数解,
故不论a(a≠0)取何实数,
抛物线C与直线l总有两个交点;(3分)
(2)A(-2,0),B(3,0),Q(2a,0)(每点坐标(1分),共6分)
0<a<
(写成a>0或a<
只能给1分);(8分)
(3)一、设存在满足条件的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0),连AP、PB,使∠APB=90°,
作PN⊥AB于N,则AN=x0+2,BN=3-x0,PN=y0
∵∠APB=90°,PN⊥AB,则△APN∽△PBN.
∴PN2=AN•BN,
则有y02=(x0+2)(3-x0)
即y02=-x02+x0+6①(11分)
∵点P(x0,y0)在抛物线C上
∴y0=-
+
x0+3
即2y0=-x02+x0+6
由①、②可得y02=2y0(y0>0)
∴y0=2(13分)
把y0=2代入②,得x0=2或-1,
∴x0>0
∴x0>2
把x0=2,y0=2代入y0=
x0-2,
得a=
∴存在满足条件的P点,此时a=
.(14分)
二、设存在满足条件的点P(x0,y0),连PA、PB,使∠APB=90°
在Rt△APB中,斜边的中点M(
,0),过点P作PN⊥AB,垂足为N,N的坐标为(x0,0),连接PM,由Rt△PMN,得MN2+PN2=PM2
∴(x0-
)2+y2=
由
|
2 |
a |
∵△=(
2 |
a |
∴不论a(a≠0)取何实数,方程组有两组不同的实数解,
故不论a(a≠0)取何实数,
抛物线C与直线l总有两个交点;(3分)
(2)A(-2,0),B(3,0),Q(2a,0)(每点坐标(1分),共6分)
0<a<
3 |
2 |
3 |
2 |
(3)一、设存在满足条件的点P(x0,y0)(x0>0,y0>0),连AP、PB,使∠APB=90°,
作PN⊥AB于N,则AN=x0+2,BN=3-x0,PN=y0
∵∠APB=90°,PN⊥AB,则△APN∽△PBN.
∴PN2=AN•BN,
则有y02=(x0+2)(3-x0)
即y02=-x02+x0+6①(11分)
∵点P(x0,y0)在抛物线C上
∴y0=-
1 |
2 |
x | 2 0 |
1 |
2 |
即2y0=-x02+x0+6
由①、②可得y02=2y0(y0>0)
∴y0=2(13分)
把y0=2代入②,得x0=2或-1,
∴x0>0
∴x0>2
把x0=2,y0=2代入y0=
1 |
a |
得a=
1 |
2 |
∴存在满足条件的P点,此时a=
1 |
2 |
二、设存在满足条件的点P(x0,y0),连PA、PB,使∠APB=90°
在Rt△APB中,斜边的中点M(
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2 |
∴(x0-
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4 |
由
作业帮用户
2017-10-13
举报
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看了(2004•龙岩)如图,已知抛...的网友还看了以下:
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