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(2014•株洲)已知抛物线y=x2-(k+2)x+5k+24和直线y=(k+1)x+(k+1)2.(1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;(2)抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、
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(2014•株洲)已知抛物线y=x2-(k+2)x+| 5k+2 |
| 4 |
(1)求证:无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;
(2)抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,求x1•x2•x3的最大值;
(3)如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,直线AD交直线CE于点G(如图),且CA•GE=CG•AB,求抛物线的解析式.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△=(k+2)2-4×1×
=k2-k+2=(k-
)2+
,
∵(k-
)2≥0,
∴△>0,
故无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;
(2)∵抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,
∴x1•x2=
,
令0=(k+1)x+(k+1)2,
解得:x=-(k+1),
即x3=-(k+1),
∴x1•x2•x3=-(k+1)•
=-
(k+
)2+
,
∴x1•x2•x3的最大值为:
;
(3)∵CA•GE=CG•AB,
∴
=
,
∵∠ACG=∠BCE,
∴△CAG∽△CBE,
∴∠CAG=∠CBE,
∵∠AOD=∠BOE,
∴△OAD∽△OBE,
∴
=
,
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,
∴OA•OB=
,OD=
,OE=(k+1)2,
∴OA•OB=OD,
∴
=
,
∴OB2=OE,
∴OB=k+1,
∴点B(k+1,0),
将点B代入抛物线y=x2-(k+2)x+
得:(k+1)2-(k+2)(k+1)-
=0,
解得:k=2,
∴抛物线的解析式为:y=x2-4x+3.
| 5k+2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 4 |
∵(k-
| 1 |
| 2 |
∴△>0,
故无论k取何实数值,抛物线总与x轴有两个不同的交点;
(2)∵抛物线于x轴交于点A、B,直线与x轴交于点C,设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3,
∴x1•x2=
| 5k+2 |
| 4 |
令0=(k+1)x+(k+1)2,
解得:x=-(k+1),
即x3=-(k+1),
∴x1•x2•x3=-(k+1)•
| 5k+2 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 7 |
| 10 |
| 9 |
| 80 |
∴x1•x2•x3的最大值为:
| 9 |
| 80 |
(3)∵CA•GE=CG•AB,
∴
| CA |
| CB |
| CG |
| CE |
∵∠ACG=∠BCE,
∴△CAG∽△CBE,
∴∠CAG=∠CBE,
∵∠AOD=∠BOE,
∴△OAD∽△OBE,
∴
| OA |
| OB |
| OD |
| OE |
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边,直线与x轴的交点C在原点的左边,又抛物线、直线分别交y轴于点D、E,
∴OA•OB=
| 5k+2 |
| 4 |
| 5k+2 |
| 4 |
∴OA•OB=OD,
∴
| OA |
| OB |
| OA•OB |
| OE |
∴OB2=OE,
∴OB=k+1,
∴点B(k+1,0),
将点B代入抛物线y=x2-(k+2)x+
| 5k+2 |
| 4 |
| 5k+2 |
| 4 |
解得:k=2,
∴抛物线的解析式为:y=x2-4x+3.
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