（2014•株洲）已知抛物线y=x2-（k+2）x+5k+24和直线y=（k+1）x+（k+1）2．（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、

Question

（2014•株洲）已知抛物线y=x²-（k+2）x+(5k+2)/(4)和直线y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△=（k+2）²-4×1×(5k+2)/(4)=k²-k+2=（k-(1)/(2)）²+(7)/(4)，
∵（k-(1)/(2)）²≥0，
∴△＞0，
故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

（2）∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=(5k+2)/(4)，
令0=（k+1）x+（k+1）²，
解得：x=-（k+1），
即x₃=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）•(5k+2)/(4)=-(5)/(4)（k+(7)/(10)）²+(9)/(80)，
∴x₁•x₂•x₃的最大值为：(9)/(80)；

（3）∵CA•GE=CG•AB，
∴(CA)/(CB)＝(CG)/(CE)，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴(OA)/(OB)＝(OD)/(OE)，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=(5k+2)/(4)，OD=(5k+2)/(4)，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，
∴(OA)/(OB)＝(OA•OB)/(OE)，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x²-（k+2）x+(5k+2)/(4)得：（k+1）²-（k+2）（k+1）-(5k+2)/(4)=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．