已知函数f(x)=log121+xx-1．（I）若a>b>1，试比较f（a）与f（b）的大小；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（12）x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f(x)=log(1)/(2)(1+x)/(x-1)．
（I）若a>b>1，试比较f（a）与f（b）的大小；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-（(1)/(2)）^x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f(x)=log(1)/(2)(1+x)/(x-1)的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
再判断函数的单调性，∵f（x）=log(1)/(2)(x+1)/(x-1)=log(1)/(2)[1+(2)/(x-1)]，
因为函数u（x）=(2)/(x-1)在区间（-∞，-1）和（1，+∞）都是减函数，
所以，f（x）在区间（-∞，-1）和（1，+∞）都是增函数，
∵a>b>1，根据f（x）在（1，+∞）上是增函数得，
∴f（a）>f（b）；
（2）由（1）知，f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
所以，函数g（x）=f（x）-((1)/(2))x+m在[3，4]单调递增，
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g（x）_min>0或g（x）_max<0，
而g（x）_min=g（3）=-(9)/(8)+m>0，解得m>(9)/(8)，
g（x）_max=g（4）=log(1)/(2)(5)/(3)-(1)/(16)+m<0，解得m<(1)/(16)-log(1)/(2)(5)/(3)，
因此，实数m的取值范围为（-∞，(1)/(16)-log(1)/(2)(5)/(3)）∪（(9)/(8)，+∞）．