如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若AC=5，AB=12，BE=133，求线段OE的长．

Question

如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．

（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若AC=5，AB=12，BE=(13)/(3)，求线段OE的长．

Answer 1

证明：（1）如图，连接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
∴OA⊥AG，
即AG与⊙O相切；

（2） ∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AC=5，AB=12，
∴BC=13，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴(BF)/(BA)=(BE)/(BC)=(EF)/(CA)，
∴(BF)/(12)=((13)/(3))/(13)=(EF)/(5)，
∴EF=(5)/(3)，BF=4，
∴OF=OB-BF=(13)/(2)-4=(5)/(2)，
∴OE=√(EF2+OF2)=(5)/(6)√(13)．