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若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,则实数m的取值范围是133≤m<5或m=4133≤m<5或m=4.
题目详情
若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,则实数m的取值范围是
≤m<5或m=4
≤m<5或m=4.
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▼优质解答
答案和解析
若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,
则x2-(m+2)x+m+5=0在区间(2,4)内有且只有一个根,
当△=(m+2)2-4(m+5)=m2-16=0时,m=±4
当m=-4时,x2-(m+2)x+m+5=0可化为x2+2x+1=0,此时方程的根-1∉(2,4)
当m=4时,x2-(m+2)x+m+5=0可化为x2-6x+9=0,此时方程的根3∈(2,4)
当△=(m+2)2-4(m+5)=m2-16>0时,m∈(-∞,-4)∪(4,+∞)
若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,
则f(2)•f(4)=(-m+5)(-3m+13)<0,
解得
≤m<5
∴
≤m<5
综上所述若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,则实数m的取值范围是
≤m<5或m=4
故答案为:
≤m<5或m=4
则x2-(m+2)x+m+5=0在区间(2,4)内有且只有一个根,
当△=(m+2)2-4(m+5)=m2-16=0时,m=±4
当m=-4时,x2-(m+2)x+m+5=0可化为x2+2x+1=0,此时方程的根-1∉(2,4)
当m=4时,x2-(m+2)x+m+5=0可化为x2-6x+9=0,此时方程的根3∈(2,4)
当△=(m+2)2-4(m+5)=m2-16>0时,m∈(-∞,-4)∪(4,+∞)
若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,
则f(2)•f(4)=(-m+5)(-3m+13)<0,
解得
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综上所述若函数f(x)=x2-(m+2)x+m+5在区间(2,4)内有且只有一个零点,则实数m的取值范围是
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故答案为:
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