已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S13=104，公差d∈N*．（1）若a2，a5，a11成等比数列，求数列{an}的通项公式；（2）是否存在数列{an}，使得对任意的m∈N*，am+am+1仍然是数列{an}中的一项？

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₁₃=104，公差d∈N^*．
（1）若a₂，a₅，a₁₁成等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在数列{a_n}，使得对任意的m∈N^*，a_m+a_m+1仍然是数列{a_n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的公差d；若不存在，说明理由；
（3）设数列{b_n}的每一列都是正整数，且b₁=5，b₂=7<b₃，若数列{a_bn}是等比数列，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）由条件得S₁₃=(13(a1+a13))/(2)=13a₇=104，解得a₇=8，
∵a₂，a₅，a₁₁成等比数列，∴

a

2 5

=a2a11，；
∴

a1+6d=8

(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)

，且公差d∈N^*，
解得d=1，a₁=2，∴a_n=2+n-1=n+1；
（2）假设存在数列{a_n}满足条件，
∵a₇=8，∴a_n=8+（n-7）d，a_m+a_m+1=16+（2m-13）d，
令a_m+a_m+1=a_n，则（n+6-2m）d=8，∴d为8的正约数：1，2，4，8，
经检验，d=1符合题意，综上满足条件的d值为1；
（3）∵a₇=8，b₁=5，b₂=7，∴ab1=a5=8-2d，ab2=a7=8，
∴等比数列的公比q=(8)/(8-2d)=(4)/(4-d)，abn=(8-2d)((4)/(4-d))n-1，
又abn=8+(bn-7)d，
∴8+(bn-7)d=(8-2d)((4)/(4-d))n-1，①
∴8+(b3-7)d=(8-2d)((4)/(4-d))2，则8+(b3-7)d=(32)/(4-d)，
由b₃>7，得4-d>0，d=1，2，3，并代入①得，
经检验，d=1不符合题意，当d=2时，bn=2n+3，
当d=3时，bn=(22n-1+1)/(3)+4．