设f(a)的导数存在,证明:lim(x–o)xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a)

Question

设f(a)的导数存在,证明:lim(x–o)xf(a)-af(x)/x-a=f(a)-af'(a)

Answer 1

显然x趋于a的时候,分子分母都趋于0
如果已经学过求导的话,由洛必达法则
对分子分母同时对 x求导后再相除仍然是原极限值,
那么[xf(a) -af(x)]' =f(a) -af '(a)
而(x-a)' =1,故原极限=f(a) -af '(a)
如果还没学到这里,用定义做,
原极限
=lim(x->a) [xf(a) -xf(x) +xf(x) -af(x)] / (x-a)
=lim(x->a) [xf(a) -xf(x)]/(x-a) + (x-a)f(x) /(x-a)
=lim(x->a) -x* [f(x) -f(a)]/(x-a) + f(x)
显然
lim(x->a)[f(x) -f(a)]/(x-a)就是f '(a)
所以
原极限= -a *f '(a) +f(a)
于是得到了证明