设函数f（x）在区间（0，+∞）内具有二阶导数，满足f（0）=0，f″（x）＜0，又0＜a＜b，则当a＜x＜b时恒有（）A．af（x）＞xf（a）B．bf（x）＞xf（b）C．xf（x）＞bf（b）D．xf（x）＞af（a

Question

设函数f（x）在区间（0，+∞）内具有二阶导数，满足f（0）=0，f″（x）＜0，又0＜a＜b，则当a＜x＜b时恒有（　　）

A．af（x）＞xf（a）
B．bf（x）＞xf（b）
C．xf（x）＞bf（b）
D．xf（x）＞af（a）

Answer 1

令φ（x）=(f(x))/(x)，则当a＜x＜b时，
φ′（x）=(xf′(x)−f(x))/(x2)．
再令h（x）=xf′（x）-f（x），
由微分中值定理可得：
h（x）=xf′（x）-f（x）=x[f′（x）-f′（ξ）]，
其中0＜ξ＜x．
因为f″（x）＜0，
所以f′（x）严格单调递减，
于是h（x）=x[f′（x）-f′（ξ）]＜0，
故φ′（x）＜0，
从而，φ（x）严格单调递减．
由0＜a＜x＜b可得，
(f(a))/(a)＞(f(x))/(x)＞(f(b))/(b)，
从而
xf（a）＞af（x），
bf（x）＞xf（b）．
故选项A错误，选项B正确．
由已知条件不能判断函数xf（x）的单调性，例如
取f（x）=-x²与f（x）=√(x)均满足题意，但xf（x）的单调性却不同，
故排除选项C、D．
故选：B．