如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E．（1）求证：AE=BD；（2）点O为BC的中点，连接DO、EO，如图2，试判断△ODE的形状？并说明理

Question

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，过B、C两点分别作直线l的垂线段，垂足分别为D、E．

（1）求证：AE=BD；
（2）点O为BC的中点，连接DO、EO，如图2，试判断△ODE的形状？并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠ADB=∠CEA=90°，
在△ABD和△CAE中，

∠BAD=∠ACE

∠ADB=∠CEA=90°

AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AE=BD；

（2）△ODE是等腰直角三角形．
理由如下：如图，连接AO，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点O为BC的中点，
∴AO=BO，∠CAO=45°，∠AOB=90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE，
∴∠ABD-∠ABO=∠CAE-∠CAO，
∵∠ABO=∠CAO=45°，
∴∠OAE=∠OBD，
在△AOE和△BOD中，

AE=BD

∠OAE=∠OBD

AO=BO

，
∴△AOE≌△BOD（SAS），
∴OE=OD，∠AOE=∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD=∠BOE+∠AOE=∠AOB=90°，
∴△ODE是等腰直角三角形．