如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP，当AD⊥AB时，过点D作DE⊥AC于E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）若AB-BC=4，AC=8．①求AB的长度及△ABP的面积；②求AE的长

Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，延长BP至点D，使得AD=AP，当AD⊥AB时，过点D作DE⊥AC于E．

（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8．
①求AB的长度及△ABP的面积；
②求AE的长．

Answer 1

（1）∵∠C=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，
∵DA⊥BA，
∴∠PBA+∠BDA=90°，
∵AD=AP，
∴∠BDA=∠DPA=∠BPC，
∠CBP=∠ABP；

（2）①设AB=x，
∵AB-BC=4，
∴BC=x-4，
∵AC=8，
∴在Rt△ABC中，（x-4）²+64=x²，
解得：x=10，
即AB=10，
∴BC=6，
过点P作PF⊥BA于点F，如图，

在△BCP和△BFP中：

∠CBP=∠FBP

∠BCP=∠BFP

BP=BP

，
∴△BCP≌△BFP（AAS），
∴BF=BC=6，PF=PC，
∴AF=4，
设PF=PC=y，
在Rt△PAF中，16+y²=（8-y）²，
解得：y═3，
即PF=3，
∴S△ABP=(1)/(2)×AB×PF=(1)/(2)×10×3=15；
③∵DE⊥AC，
∴∠EAD+∠ADE=90°=∠PAF+∠EAD，
∠PAF=∠ADE，
在△PAF和△ADE中，

∠PFA=∠AED

∠PAF=∠ADE

PA=AD

，
∴△PAF≌△ADE（AAS），
∴AE=PF=3．