菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试

Question

菱形ABCD中，点P为CD上一点，连接BP．
（1）如图1，若BP⊥CD，菱形ABCD边长为10，PD=4，连接AP，求AP的长．
（2）如图2，连接对角线AC、BD相交于点O，点N为BP的中点，过P作PM⊥AC于M，连接ON、MN．试判断△MON的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=10，AB∥CD
∵PD=4，
∴PC=6，
∵PB⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠CPB=∠ABP=90°，
在RT△PCB中，∵∠CPB=90°PC=6，BC=10，
∴PB=√(BC2-PC2)=√(102-62)=8，
在RT△ABP中，∵∠ABP=90°，AB=10，PB=8，
∴PA=√(AB2+PB2)=√(102+82)=2√(41)．
（2）△OMN是等腰三角形．
理由：如图2中，延长PM交BC于E．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，CB=CD，
∵PE⊥AC，
∴PE∥BD，
∴(PC)/(CD)=(CE)/(CB)，
∴CP=CE，
∴PD=BE，
∵CP=CE，CM⊥PE，
∴PM=ME，
∵PN=NB，
∴MN=(1)/(2)BE，
∵BO=OD，BN=NP，
∴ON=(1)/(2)PD，
∴ON=MN，
∴△OMN是等腰三角形．