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已知三角形ABC中AC等于BC,角ACB等于90DE分别为AB,BC上一点,连DE1.如图1,若∠CDE＝45°,BE＝AD,求证DC＝DE2.如图2,在1的条件下,过E作EF⊥AB于F,求EF除以CE的值3.如图3,过E作EF⊥BD于F,若DC＝DE,求证AB＝2DF
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已知三角形ABC中AC等于BC,角ACB等于90DE分别为AB,BC上一点,连DE
1.如图1,若∠CDE＝45°,BE＝AD,求证DC＝DE 2.如图2,在1的条件下,过E作EF⊥AB于F,求EF除以CE的值 3.如图3,过E作EF⊥BD于F,若DC＝DE,求证AB＝2DF
1.如图1,若∠CDE＝45°,BE＝AD,求证DC＝DE 2.如图2,在1的条件下,过E作EF⊥AB于F,求EF除以CE的值 3.如图3,过E作EF⊥BD于F,若DC＝DE,求证AB＝2DF
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答案和解析
1）证明：①如图①．∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∴∠DCB=∠B=45°,∴∠A=∠DCB,即∠A=∠DCF．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠EDC=90°,∠CDF+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠A＝∠DFC AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②∵在△ABC中,∠ACB=90°,G为EF的中点,∴CG=1 2 EF．∵DF⊥DE,G为EF的中点,∴GD=1 2 EF．∴CG=GD；（2）①②还成立．①AE=CF,证明如下：如图②,∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∠ACD=∠BCD=45°,∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°,∠FCD=180°-∠BCD=135°,∴∠EAD=∠FCD．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠EAD＝∠FCD AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②CG=GD．证明如下：Rt△EFC中,点G是EF边的中点,则CG=1 2 EF．在Rt△EFD中,点G是EF边的中点,则GD=1 2 EF．则CG=GD；（3）AC=7或1,理由是：∵AC=BC,CD是AB边上的中线,∴CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CHD+∠DCH=90°,∠CDG+∠HDG=90°,∵由（1）知DG=CG,∴∠CDG=∠GCD,∴∠GDH=∠GHD,∴DG=GH,∴CG=GH=1 2 CH=1 2 ×5=2.5,∵∠EDF=90°,G为EF中点,∴DG=1 2 EF,∴EF=5,∵AE=3,∴由（1）知AE=CF,∴CF=3,在Rt△ECF中,由勾股定理得：EC=52−32 =4,∴AC=AE+CE=3+4=7；如图②,同理求出EF=5,CF=3,在R△ECF中,根据勾股定理求出CE=4,则AC=CE-AE=4-3=1,综合上述：AC=7或1．
回答：
1）证明：①如图①．∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∴∠DCB=∠B=45°,∴∠A=∠DCB,即∠A=∠DCF．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠EDC=90°,∠CDF+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠A＝∠DFC AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②∵在△ABC中,∠ACB=90°,G为EF的中点,∴CG=1 2 EF．∵DF⊥DE,G为EF的中点,∴GD=1 2 EF．∴CG=GD；（2）①②还成立．①AE=CF,证明如下：如图②,∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∠ACD=∠BCD=45°,∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°,∠FCD=180°-∠BCD=135°,∴∠EAD=∠FCD．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠EAD＝∠FCD AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②CG=GD．证明如下：Rt△EFC中,点G是EF边的中点,则CG=1 2 EF．在Rt△EFD中,点G是EF边的中点,则GD=1 2 EF．则CG=GD；（3）AC=7或1,理由是：∵AC=BC,CD是AB边上的中线,∴CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CHD+∠DCH=90°,∠CDG+∠HDG=90°,∵由（1）知DG=CG,∴∠CDG=∠GCD,∴∠GDH=∠GHD,∴DG=GH,∴CG=GH=1 2 CH=1 2 ×5=2.5,∵∠EDF=90°,G为EF中点,∴DG=1 2 EF,∴EF=5,∵AE=3,∴由（1）知AE=CF,∴CF=3,在Rt△ECF中,由勾股定理得：EC=52−32 =4,∴AC=AE+CE=3+4=7；如图②,同理求出EF=5,CF=3,在R△ECF中,根据勾股定理求出CE=4,则AC=CE-AE=4-3=1,综合上述：AC=7或1．
回答：
1）证明：①如图①．∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∴∠DCB=∠B=45°,∴∠A=∠DCB,即∠A=∠DCF．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠EDC=90°,∠CDF+∠EDC=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠A＝∠DFC AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②∵在△ABC中,∠ACB=90°,G为EF的中点,∴CG=1 2 EF．∵DF⊥DE,G为EF的中点,∴GD=1 2 EF．∴CG=GD；（2）①②还成立．①AE=CF,证明如下：如图②,∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,∴∠CAB=∠B=45°．∵CD为边AB上的中线,∴CD⊥AB,AD=CD=BD,∠ACD=∠BCD=45°,∴∠EAD=∠180°-∠CAD=135°,∠FCD=180°-∠BCD=135°,∴∠EAD=∠FCD．∵DF⊥DE,∴∠ADE+∠HDF=∠CDF+∠HDF=90°,∴∠ADE=∠CDF．在△AED与△CFD中,∠EAD＝∠FCD AD＝CD ∠ADE＝∠CDF ,∴△AED≌△CFD（ASA）,∴AE=CF； ②CG=GD．证明如下：Rt△EFC中,点G是EF边的中点,则CG=1 2 EF．在Rt△EFD中,点G是EF边的中点,则GD=1 2 EF．则CG=GD；（3）AC=7或1,理由是：∵AC=BC,CD是AB边上的中线,∴CD⊥AB,∴∠CDA=90°,∴∠CHD+∠DCH=90°,∠CDG+∠HDG=90°,∵由（1）知DG=CG,∴∠CDG=∠GCD,∴∠GDH=∠GHD,∴DG=GH,∴CG=GH=1 2 CH=1 2 ×5=2.5,∵∠EDF=90°,G为EF中点,∴DG=1 2 EF,∴EF=5,∵AE=3,∴由（1）知AE=CF,∴CF=3,在Rt△ECF中,由勾股定理得：EC=52−32 =4,∴AC=AE+CE=3+4=7；如图②,同理求出EF=5,CF=3,在R△ECF中,根据勾股定理求出CE=4,则AC=CE-AE=4-3=1,综合上述：AC=7或1．
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