已知整数a,b,c,d的最小公倍恰好是a+b+c+d求证a*b*c*d一定能被3或5整除

Question

已知整数a,b,c,d的最小公倍恰好是a+b+c+d
求证a*b*c*d一定能被3或5整除

Answer 1

lz你的题目应该是正整数a b c d,不是整数吧?因为负数好像没有最小公倍数一说.我的解法基于此,有点长,应该不是最简便的,慎入
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假设题目不成立.则abcd不能被3也不能被5整除.
不妨设a>=b>=c>=d,令a+b+c+d=a*a1=b*b1=c*c1=d*d1.那么a1 b1 c1 d1是大于1的整数并且a1 b1 c1 d1互质.因为如果他们有素数公因子p,那么(a+b+c+d)/p也是a b c d的公倍数且比a+b+c+d小,这与a+b+c+d是最小公倍数矛盾!
由此可见a+b+c+d不能被3整除.因为若3|a+b+c+d,那么由3不整除abcd知3整除a1 b1 c1 d1中的每一个.矛盾!同理,a+b+c+d不能被5整除
注意a1*a=a+b+c+d