如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=AC，在线段AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．
（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PAC
（Ⅱ）若PA=1，AB=2，BC=AC，在线段AC上是否存在一点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°？若存在，求出CD的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC------------------------（1分）
∵BC⊂平面ABC，∴BC⊥PA．------------------------（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．
∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．------------（3分）
∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．------------（4分）
（Ⅱ）在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．
由已知可知，BC⊥CA，AB=2，此时BC＝AC＝√(2)．------------（5分）
以C为原点，建立如图的空间直角坐标系C-xyz，则

CB

＝(0，√(2)，0)，

CP

＝(√(2)，0，1)，
设

n

＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则

CB

•

n

＝0

CP

•

n

＝0

⇒

√(2)•y＝0

√(2)x+z＝0

，
取x=1，得

n

＝(1，0，−√(2))，------------（8分）
设线段AC上的点D的坐标为D（t，0，0），则

BD

＝(t，−√(2)，0)(0≤t≤√(2))，
∵sin30°＝(|n•BD|)/(|n|•|BD|)＝(t)/(√(3)•√(t2+2))，解得t＝√(6)∉[0，√(2)]，------------（11分）
∴在线段AC上不存在点D，使得直线BD与平面PBC所成角为30°．------------（12分）