数学三角形证明题.设三角形ABC三个角对应的三边是a、b、c,P为三角形ABC内任意一点.S为三角形ABC面积.da、db、dc分别表示P到三边的距离,dA、dB、dC分别表示P到三顶点的距离.求证：①a²+b²

Question

数学三角形证明题.
设三角形ABC三个角对应的三边是a、b、c,P为三角形ABC内任意一点.S为三角形ABC面积.da、db、dc分别表示P到三边的距离,dA、dB、dC分别表示P到三顶点的距离.
求证：①a²+b²+c²≤（4√3） S；
②dA+dB+dC≥2（da+db+dc）.

Answer 1

① 不等式写反了
由余弦定理 c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²+c²=2(a²+b²-abcosC)≥2ab(2-cosC)
∵cosC+√3sinC=2sin(C+30°)≤2,∴2-cosC≥√3sinC
∴a²+b²+c²≥2ab√3sinC,而2S=absinC
即有a²+b²+c²≥4√3S
②记PD⊥BC于D,PE⊥AC于E,PF⊥AB于F,连接DE,EF,FD
则B,D,P,F四点共圆,BP为直径,∴DF=PB·sin∠B=dB·sinB
又△PDF中,由余弦定理知 DF²=PD²+PF²-2PD·PF·cos(π-B)
=da²+dc²-2da·dc·cos(A+B)=da²+dc²-2da·dc·cosAcosB+2da·dc·sinAsinC
=da²sin²C+da²cos²C+dc²sin²A+dc²cos²A-2da·dc·cosAcosB+2da·dc·sinAsinC
=(dasinC+dcsinA)²+(dacosC-dccosA)²≥(dasinC+dcsinA)²
∴DF≥dasinC+dcsinA,即dBsinB≥dasinC+dcsinA => dB≥dasinC/sinB+dcsinA/sinB
同理,有dA≥dbsinC/sinA+dcsinB/sinA,dC≥dasinB/sinC+dbsinA/sinC
∴dA+dB+dC≥da(sinC/sinB+sinB/sinC)+db(sinC/sinA+sinA/sinC)+dc(sinA/sinB+sinB/sinA)
≥2da+2db+2dc=2(da+db+dc)