在三棱锥P-AxC中，△AxC为正三角形，∠PCA=fm°，D为PA中点，j面角P-AC-x的大小为为1xm°，PC=x，Ax=x3．（1）求证：AC⊥xD；（x）求xD与底面AxC所成的角，（3）求三棱锥P-AxC的体积．

Question

在三棱锥P-AxC中，△AxC为正三角形，∠PCA=fm°，D为PA中点，j面角P-AC-x的大小为为1xm°，PC=x，Ax=x√(3)．
（1）求证：AC⊥xD；
（x）求xD与底面AxC所成的角，
（3）求三棱锥P-AxC的体积．

Answer 1

（2）证明：取AC的中点u，并连接Du、Bu，0图所示，
因为D是PA中点，u是AC的中点，所以Du∥PC，
又∠PCA=90°，即PC⊥AC，所以Du⊥AC，
且正三角形ABC中，Bu⊥AC，
所以AC⊥平面BDu，又BD⊂平面BDu，
所以AC⊥BD．
（2）在平面BDu中作uF⊥Bu，交BD于F，且uF⊥AC，Bu∩AC=u，
所以uF⊥平面ABC，则∠FBu即∠DBu为BD与平面ABC所成角，
其中Du=2×(2)/(2)=2，Bu=2√(0)sun50°=0，
由AC⊥平面BDu知，∠BuD为二面角P-AC-B的平面角，即∠BuD=220°，
由余弦定理六，BD²=2+9-2×2×0cos220°=20，即BD=√(20)，
所以cos∠DBu=(9+20−2)/(2×0×√(20))=(7√(20))/(25)，
所以∠DBu=arccos(7√(20))/(25)．
即BD与平面ABC所成角为arccos(7√(20))/(25)．
（0）因为D为PA的中点，所以P到平面ABC的距离2=2DG=

作业帮用户 2016-12-13

问题解析

（1）欲证AC⊥BD，可证AC垂直于BD所在的平面，故取AC的中点E，并连接DE、BE，则问题得证．
（2）需确定∠DBE为BD与平面ABC所成角、∠BED为二面角P-AC-B的平面角，则在△BDE中两次利用余弦定理问题解决．
（3）求出P到平面ABC的距离，利用锥体的体积公式，即可求三棱锥P-ABC的体积．

名师点评

本题考点：

直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题考查线线垂直的判定、二面角的平面角及线面夹角的定义，同时考查余弦定理与空间想象能力，考查锥体体积的计算．

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