已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且1a1-1a2=2a3，S6=63．（1）求{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（-1）nb2n}的前2n项和．

Question

已知{a_n}是等比数列，前n项和为S_n（n∈N^*），且(1)/(a1)-(1)/(a2)=(2)/(a3)，S₆=63．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中项，求数列{（-1）ⁿb

2

n

}的前2n项和．

Answer 1

（1）设{a_n}的公比为q，则(1)/(a1)-(1)/(a1q)=(2)/(a1q2)，即1-(1)/(q)=(2)/(q2)，
解得q=2或q=-1．
若q=-1，则S₆=0，与S₆=63矛盾，不符合题意．∴q=2，
∴S₆=(a1(1-26))/(1-2)=63，∴a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）∵b_n是log₂a_n和log₂a_n+1的等差中项，
∴b_n=(1)/(2)（log₂a_n+log₂a_n+1）=(1)/(2)（log₂2^n-1+log₂2ⁿ）=n-(1)/(2)．
∴b_n+1-b_n=1．
∴{b_n}是以(1)/(2)为首项，以1为公差的等差数列．
设{（-1）ⁿb_n²}的前2n项和为T_n，则
T_n=（-b₁²+b₂²）+（-b₃²+b₄²）+…+（-b_2n-1²+b_2n²）
=b₁+b₂+b₃+b₄…+b_2n-1+b_2n
=(b1+b2n)/(2)•2n=((1)/(2)+2n-(1)/(2))/(2)•2n
=2n²．