如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．（1）证明△BCM≌△CAN；（2）∠AEM=°；（3）求证DE平分∠AEC；（4）试猜想AE，CE，DE之间的

Question

如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E．

（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM=___°；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明．

Answer 1

（1）如图1中，连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，

BC=AC

∠B=∠ACN

BM=CN

，
∴△BCM≌△CAN．

（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．

（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．

∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，

∠DGA=∠H=90°

∠ADG=∠CDH

DA=DC

，
∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．

（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED．