（2014•龙东地区）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=12CF．（不需证明）（2）当直线m不经过B

Question

（2014•龙东地区）已知△ABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于D，ME⊥m于E，CF⊥m于F．
（1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=(1)/(2)CF．（不需证明）
（2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明．

Answer 1

（1）如图1，
∵ME⊥m于E，CF⊥m于F，
∴ME∥CF，
∵M为BC的中点，
∴E为BF中点，
∴ME是△BFC的中位线，
∴EM=(1)/(2)CF．

（2）图2的结论为：ME=(1)/(2)（BD+CF），
图3的结论为：ME=(1)/(2)（CF-BD）．
图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM＝∠KCM

BM＝CM

∠BMD＝∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA），
∴DB=CK，DM=MK
由题意知：EM=(1)/(2)FK，
∴ME=(1)/(2)（CF+CK）=(1)/(2)（CF+DB）    
图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m，CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中

∠DBM＝∠KCM

BM＝CM

∠BMD＝∠KMC

，
∴△DBM≌△KCM（ASA）
∴DB=CK，DM=MK，
由题意知：EM=(1)/(2)FK，
∴ME=(1)/(2)（CF-CK）=(1)/(2)（CF-DB）．