如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：x24+y2=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：(x2)/(4)+y²=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．
（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；
（2）若t=-1，记直线AC、AD的斜率分别为k₁，k₂，求证：(1)/(k1)+(1)/(k2)定值；
（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．

Answer 1

（1）由题意：椭圆：(x2)/(4)+y²=1上顶点C（0，1），
右焦点E（-√(3)，0），
所以l：y=-(√(3))/(3)x+1，
令x=2，得t=1-(2√(3))/(3)．…（2分）
（2）证明：直线AC：y=k₁（x+2），与(x2)/(4)+y2＝1联立
得C：

x＝(2−8k12)/(1+4k12)

y＝(4k1)/(1+4k12)

，同理得D：

x＝(2−8k22)/(1+4k22)

y＝(4k2)/(1+4k22)

，…（4分）
由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，得(1)/(k1)+(1)/(k2)=-4（定值）．…（8分）
（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，
设点P（2，t），则OP：y=(t)/(2)x，
分别与直线AC：y=k₁（x+2）与AD：y=k₂（x+2）联立得：
x_E=(4k1)/(t−2k1)，x_F=(4k2)/(t−2k2)，下证：x_E+x_F=0，即(4k1)/(t−2k1)+(4k2)/(t−2k2)=0
化简得：t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0…（12分）
由（2）知C：

x＝(2−8k12)/(1+4k12)

y＝(4k1)/(1+4k12)

，D：

x＝(2−8k22)/(1+4k22)

y＝(4k2)/(1+4k22)

，
由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，
得t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0，
所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）