如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动

Question

如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0<t≤5）以P为圆心，PA长为半径的 P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？
（2）当 Q经过点A时，求 P被OB截得的弦长．
（3）若 P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．

Answer 1

（1）∵OA=6，OB=8，
∴由勾股定理可求得：AB=10，
由题意知：OQ=AP=t，
∴AC=2t，
∵AC是 P的直径，
∴∠CDA=90°，
∴CD∥OB，
∴△ACD∽△ABO，
∴(AC)/(AB)=(AD)/(OA)，
∴AD=(6)/(5)t，
当Q与D重合时，
AD+OQ=OA，
∴(6)/(5)t+t=6，
∴t=(30)/(11)；

（2）当 Q经过A点时，如图1，
OQ=OA-QA=4，
∴t=(4)/(1)=4s，
∴PA=4，
∴BP=AB-PA=6，
过点P作PE⊥OB于点E， P与OB相交于点F、G，
连接PF，
∴PE∥OA，
∴△PEB∽△AOB，
∴(PE)/(OA)=(BP)/(AB)，
∴PE=(18)/(5)，
∴由勾股定理可求得：EF=(2√(19))/(5)，
由垂径定理可求知：FG=2EF=(4√(19))/(5)；

（3）当QC与 P相切时，如图2，
此时∠QCA=90°，
∵OQ=AP=t，
∴AQ=6-t，AC=2t，
∵∠A=∠A，
∠QCA=∠ABO，
∴△AQC∽△ABO，
∴(AQ)/(AB)=(AC)/(OA)，
∴(6-t)/(10)=(2t)/(6)，
∴t=(18)/(13)，
∴当0<t≤(18)/(13)时， P与QC只有一个交点，

当QC⊥OA时，
此时Q与D重合，
由（1）可知：t=(30)/(11)，
∴当(30)/(11)<t≤5时， P与QC只有一个交点，
综上所述，当， P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0<t≤(18)/(13)或(30)/(11)<t≤5．