在平面直角坐标系XOY中,Y=根号三被圆C1：X^2+Y^2+8X+F=0截得弦长为21求圆C1的方程2设圆C1和X轴相交于A,B两点,点P为圆C1上不同于A,B的任意一点,直线PA,PB交Y轴与M,N两点,当点P变化时以MN为直径的圆C2

Question

在平面直角坐标系XOY中,Y=根号三被圆C1：X^2+Y^2+8X+F=0截得弦长为2
1求圆C1的方程
2设圆C1和X轴相交于A,B两点,点P为圆C1上不同于A,B的任意一点,直线PA,PB交Y轴与M,N两点,当点P变化时以MN为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点.请证明你的结论

Answer 1

将y=√3 代入圆C1方程得：
x²+8x+3+F=0
根据韦达定理有：x1+x2=-8,x1*x2=3+F
由题意方程的2根只差为弦长：|x1-x2|=2
(x1-x2)²=(x1+x2) ²-4x1x2=(-8)²-4(3+F)=52-4F=2²
∴F=12
圆C1方程为：x²+y²+8x+12=0,即(x+4)²+y²=4 圆心为：（-4,0） 半径为：2
2、
∵圆C1：(x+4)²+y²=4 交x轴于A、B点
∴AB的坐标为：A（-6,0）、B（-2,0）
∵MN在y轴上,∴可设圆C2的圆心为：（0,b）半径为r
则圆C2的方程可表示为：x²+(y-b)²=r²
M、N的坐标可表示为：M（0,b+r）、N（0,b-r）
直线MA的斜率kMA=(b+r)/(0-(-6))=(b+r)/6
直线MB的斜率kMB=(b-r)/(0-(-2))=(b-r)/2
∵AB是圆C1的直径,P在圆C1上
∴PA⊥PB 【直接上的圆周角为直角】
则kMA*kMB=-1
(b+r)/6 * (b-r)/2=-1
∴ b²-r²=-12
圆C2方程：x²+y²-2by=r²-b²=12
圆系方程 x²+y²-2by-12=0 的公共弦所在直线方程为：
x²+y²-2b1y-12 - (x²+y²-2b2y-12)=0; (2b2-2b1)y=0; 即y=0
与圆的交点为：(-√12,0） （√12,0） 即圆系C2的公共点.
∵ -6