将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种,求证：必存在同颜色的3个点,使其中一点是两点连线段的中点将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种,求证：必存在同颜色的3个点,使

Question

将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种,求证：必存在同颜色的3个点,使其中一点是两点连线段的中点
将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种,求证：必存在同颜色的3个点,使其中一点是另两点连线段的中点.

Answer 1

反证法：
假设不存在三个同种颜色点,使得其中一个是两点所构成线段的中点.
已知直线上有无数个点,染成红黄两色：必存在同色的两点(其实是无数个点,这里只需取两点),不妨设这两点都是红点,分别为A,B,距离为l.
现在将线段A,B分别向两边外延l,得端点C,D,并使A为BC中点,B为AD中点.这样一来,由假设知：C,D不能为红点,所以C,D都是黄点.
再取AB的中点O,由假设,O不能为红点,必为黄点.
须知O同时也是线段CD的中点,于是C,O,D构成同色三点,且O为CD中点.这与假设矛盾.
所以假设不成立.