在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是BC中垂线l上一动点，连接PA，交CB于点E，F是点E关于l的对称点．将PF延长交AB于点D，连接CD交PA于点G．（1）如图，若点P移动到BC下方时，求证：∠AEC=∠DFB，CD

Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是BC中垂线l上一动点，连接PA，交CB于点E，F是点E关于l的对称点．将PF延长交AB于点D，连接CD交PA于点G．
（1）如图，若点P移动到BC下方时，求证：∠AEC=∠DFB，CD⊥AE；
（2）如图，若点P移动到BC的上方时，其他条件不变，请试写出线段AE、CD、DF的数量关系，并加以证明．

Answer 1

（2）证明：如图1，作∠ACB的角平分线交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于l对称，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH与△BFD中，

∠ECH=∠B

CE=BF

∠CEH=∠BFD

，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴CH=BD，
在△ACH与△CBD中，

AC=BC

∠ACH=∠B=45°

CH=BD

，
∴△ACH≌△CBD
∴∠BCD=∠CAH，
∵∠CAE+∠CEA=90°
∴∠GCE+∠CEG=90°
∴∠CGH=90°
∴CD⊥AE；

（2）AE=CD+DF，
证明：如图2，作∠ACB的角平分线交AP于H，
∵∠ACB=90°
∴∠BCH=∠ACH=45°
在Rt△ABC中
∵BC=AC
∴∠B=45°
又∵P为BC的中垂线MN上一点，E，F关于l对称，
∴CE=BF，PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AEC=∠BFD，
在△CEH与△BFD中，

∠ECH=∠B

CE=BF

∠CEH=∠BFD

，
∴△CEH≌△BFD（ASA）．
∴EH=FD，
在△ACH与△CBD中，

AC=BC

∠ACH=∠B=45°

CH=BD

，
∴△ACH≌△CBD，
∴AH=CD，
∵AE=AH+EH，
∴AE=CD+DF．