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设f(x)在x=0可导,且x趋近于1时,[(1+(1—cosf(x))/sinx]^1/x=e,求f(x)在x=0的导数
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设f(x)在x=0可导,且x趋近于1时,[(1+(1—cosf(x))/sinx]^1/x=e,求f(x)在x=0的导数
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答案和解析
lim(x->0) [(1+(1—cosf(x))/sinx] ^ (1/x) = e
=> lim(x->0) (1/x) ln[(1+(1 - cosf(x))/sinx] = 1
=> lim(x->0) (1 - cosf(x)) / [ x * sinx] = 1
=> f(0) = 0 且 lim(x->0) (1/2) [ f(x)/x ]² = 1
=> f '(0) = √2
=> lim(x->0) (1/x) ln[(1+(1 - cosf(x))/sinx] = 1
=> lim(x->0) (1 - cosf(x)) / [ x * sinx] = 1
=> f(0) = 0 且 lim(x->0) (1/2) [ f(x)/x ]² = 1
=> f '(0) = √2
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