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1.求证:收敛级数n从1到无穷∑{sinnx/(√n)}不可能是某个黎曼可积函数的傅立叶级数2.设f(x)=∑x^n/{n^2·ln(n+1)},n从1到无穷,求证(1)f(x)在[-1,1]上连续,(2)f(x)在x=-1可导,(3)x趋近于1-0时,f(x)

题目详情
1.求证:收敛级数n从1到无穷∑{sin nx/(√n)}不可能是某个黎曼可积函数的傅立叶级数
2.设f(x)=∑x^n/{n^2·ln(n+1)},n从1到无穷,求证(1)f(x)在[-1,1]上连续,(2)f(x)在x=-1可导,(3)x趋近于1-0时,f(x)导数的极限为0,(4)f(x)在x=1不可导
十二日0点之前答出追加100,7点之前追加50
▼优质解答
答案和解析
1.如果f可积,那么因为在一个周期上,所以f^2可积.另外对于f,bn=1/sqrt(n),于是有 ∑bn^2 发散,而由parseval等式可知这是不可能的.
2.
1)级数正规收敛,所以一致收敛,所以函数连续.
2)只需证明各项导数组成的新级数在[-1.1m,-0.9]上一致收敛,就说明f在这个区间上可导,并且导函数就是新级数的和.
3)看不懂
4)如果f在1处可导,导函数为各项导数组成的新级数的和.但是1/n*ln(n+1)的级数发散,矛盾.于是f在1不可导.