设a为常数,并设lim(x->0-)[(4+e^1/x)/(1+e^4/x)]+asinx/|x|存在,求常数a的值4+e^(1/x)/1+(e^4x)这个式子,当x趋近于0-时,就是4?趋近于0+时候就是0?我学糊涂了,趋近于0,极限不应该相等么?用一次罗比

Question

设a为常数,并设lim(x->0-)[(4+e^1/x)/(1+e^4/x)]+asinx /|x|存在,求常数a的值
【4+e^(1/x)】/【1+(e^4x)】 这个式子,当x趋近于0-时,就是4?趋近于0+时候就是0?
我学糊涂了,趋近于0,极限不应该相等么?
用一次罗比达法则，得到lim 1/4e^(-3/x),然后用0+和0-判断？

Answer 1

题目似乎应该为x趋向于0时极限存在,而不是仅趋向于0-.若趋于0时极限存在,即在0处左右极限都存在并相等.
左极限（0-）：e^(1/x)为e的负无穷次幂,即e的正无穷次幂的倒数,趋于0,同理e^(4/x)趋于0,asinx /|x|=-asinx/x趋于-a,故左极限为4-a.
右极限(0+)：e^(1/x)为e的正无穷次幂,同理e^(4/x),上下同除以e^(4/x),则(4+e^1/x)/(1+e^4/x)趋于0,asinx /|x|=asinx/x趋于a,故右极限为a.因此4-a=a,a=2.