设F1、F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足PF2=F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为?

Question

设F1、F2分别为双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足PF2=F1F2,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为?

Answer 1

由双曲线定义得PF1的长度为2a+2c
因为PF2=F1F2=2c 所以三角形PF1F2是一个以PF1为底的等腰三角形
因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长 过F2作PF1垂线,垂足为M （由等腰三角形得M也是中点,即MP=a+c）,得MF2=2a
可以看出三角形MPF2是直角三角形,由勾股定理得
(2a)^2+(a+c)^2=(2c)^2
得c/a=5/3
所以渐近线方程 y=+-4/3 x