在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，sin(A−B)sin(A+B)=a2−b2a2+b2=-725．（1）判断△ABC的形状；（2）若△ABC外接圆为⊙O，点P位于劣弧AC上，∠APB=60°，求四边形ABCP的面积．

Question

在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，(sin(A−B))/(sin(A+B))=(a2−b2)/(a2+b2)=-(7)/(25)．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若△ABC外接圆为⊙O，点P位于劣弧

AC

上，∠APB=60°，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

（1）∵(sin(A−B))/(sin(A+B))=(a2−b2)/(a2+b2)，
∴（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），
即b²sinAcosB=a²cosAsinB，
由正弦定理得sin²BsinAcosB=sin²AcosAsinB，
∴sinBcosB=sinAcosA，即sin2A=sin2B，
则2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=(π)/(2)，
∵(a2−b2)/(a2+b2)=-(7)/(25)≠0，
∴a≠b，
故A+B=(π)/(2)，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵(a2−b2)/(a2+b2)=-(7)/(25)，c=10，
∴a²+b²=100，
即a²-b²=-28，
解得a=6，b=8，
则Rt△ABC中，sin∠CAB=(3)/(5)，cos∠CAB=(4)/(5)，
sin∠PAC=sin（60°-∠CAB）=sin60°cos∠CAB-cos60°sin∠CAB=(4√(3)−3)/(10)，
连BP，CP，则AP=ABcos60°=5，
则四边形ABCP的面积S=S△ABC+S△PBC＝(1)/(2)ab+(1)/(2)AP•ACsin∠PAC=18+8√(3)．