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设n元实二次型q(X)=X'AX满足条件：q(X)=0当且仅当X=0.求证q(X)>0或q(x)
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设n元实二次型q(X)=X'AX满足条件：q(X)=0当且仅当X=0.求证q(X)>0或q(x)
▼优质解答
答案和解析
证明:由已知A是实对称矩阵则A可正交对角化
设Q为正交矩阵满足Q'AQ=diag(a1,...,an)
令 X=QY,则 q=a1y1^2+...+anyn^2
因为q(X)=0当且仅当X=0
所以A的特征值a1,...,an都不为0
问题转化为证明a1,...,an全大于0或全小于0.
反证.若a1>0,a20或q(x)
设Q为正交矩阵满足Q'AQ=diag(a1,...,an)
令 X=QY,则 q=a1y1^2+...+anyn^2
因为q(X)=0当且仅当X=0
所以A的特征值a1,...,an都不为0
问题转化为证明a1,...,an全大于0或全小于0.
反证.若a1>0,a20或q(x)
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