在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，E是OC上的一点．（1）如图1，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，点F是BC上的一点，将四

Question

在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，E是OC上的一点．
（1）如图1，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，∵△OBC为等边三角形，
∴OC=OB，∠COB=60°．，
∵点E是OC的中点，
∴EC=(1)/(2)OC=(1)/(2)OB，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴AB=(1)/(2)OB，∠COA=90°，
∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，
∴CE∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2） 如图2，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，
∴△CEF≌△AEF，
∴EC=EA，
∵OB=4，
∴OC=BC=4，
在△OAB中，∠OAB=90°，
∵∠AOB=30°，
∴OA=2√(3)，
在Rt△OAE中，由（1）知：∠EOA=90°，
设OE=x，
∵OE²+OA²=AE²，
∴x²+(2√(3))2=（4-x）²，
解得，x=(1)/(2)，
∴OE=(1)/(2)．